強反転・長チャネル・平方則モデルを仮定すると,MOSFET のトランスコンダクタンスは
\[g_m = \sqrt{ 2 \mu C_{\mathrm{ox}} \frac{ W }{ L } I_D }\]で与えられる。
この式はモデルの仮定下では 等式であり,設計初期の見積りに広く用いられる。
一方,ゲート関連の寄生容量はデバイス寸法に比例し,
\[C_{gs} \propto W L\] \[C_{gd} \propto W L\]と近似できる。
バイアス電流 ${ I_D }$ を一定に保ったまま ${ W / L }$ を増やすと,
という 非対称なスケーリングが起こる。
実務的には,
「 ${ g_m }$ はそこそこ増えるが,容量は確実に増える」
と覚えるのが安全である。
出力ノードの等価抵抗を ${ r_o }$,容量を ${ C }$ とすると, このノードの極は
\[f_p = \frac{ 1 }{ 2 \pi r_o C }\]で与えられる。
したがって ${ W }$ を大きくして ${ C }$ が増加すると,
\[C \uparrow \Rightarrow f_p \downarrow\]となり,極は低周波側へ移動する。
実務ではこの結果として,
という現象が観測される。
入力ノードと出力ノードの間に容量 ${ C_{gd} }$ が存在し, その両端の電圧利得を ${ A_v }$ とすると, 入力側から見た等価容量は
\[C_{\mathrm{eq}} = C_{gd} ( 1 - A_v )\]で与えられる。
共通ソース増幅段では ${ A_v < 0 }$ であるため,
\[C_{\mathrm{eq}} \approx C_{gd} ( 1 + | A_v | )\]となり,容量が大きく「見える」。
2 段オペアンプでは, 第 1 段出力と第 2 段出力の間に補償容量 ${ C_c }$ を入れることが多い。
このとき第 1 段出力ノードから見た等価容量は
\[C_{\mathrm{eq}} \approx C_c ( 1 + A_2 )\]となる(${ A_2 }$ は第 2 段利得)。
実務的には,
「 ${ C_c }$ は ${ 1 + A_2 }$ 倍に増幅されて第 1 段にぶら下がる」
と理解する。
第 1 段出力ノードの等価抵抗を ${ r_{o1} }$ とすると, ここに形成される極は
\[f_{p1} = \frac{ 1 }{ 2 \pi r_{o1} C_{\mathrm{eq}} }\]である。
ミラー補償ではこの極を 意図的に低周波側へ配置し,
ことを目的とする。
単一極近似が成り立つ増幅器では, 開ループ伝達関数は
\[A ( j \omega ) = \frac{ A_0 }{ 1 + j \frac{ \omega }{ \omega_p } }\]と表される。
このとき,
する。
ゲイン帯域とは, 「ある利得を維持できる周波数範囲」を指す実務的な言葉である。
ユニティゲイン周波数 ${ \omega_u }$ は,
\[| A ( j \omega_u ) | = 1\]を満たす角周波数である。
単一極近似の下では,
\[\omega_u \approx A_0 \omega_p\]が成り立ち,周波数表示では
\[f_u \approx A_0 f_p\]となる。
この ${ f_u }$ を GBW( Gain Bandwidth Product )と呼ぶ。
共通ソース段では,
\[A_0 \approx g_m r_o\] \[f_p \approx \frac{ 1 }{ 2 \pi r_o C }\]であるため,
\[GBW = A_0 f_p \approx \frac{ g_m }{ 2 \pi C }\]となる。
この式が意味するのは,
という事実である。
そのため設計では,
「どの段の ${ g_m }$ で,どの容量を駆動しているか」
を常に意識する必要がある。
.op 解析で ${ g_m }$ ,${ r_o }$ を確認.ac 解析で
これらを数式・回路・シミュレーションの三点で結びつけることが, 実務的なアナログ回路設計の基本である。
負帰還増幅器では,開ループ利得が 1 になる周波数での位相遅れが 安定性を決定する。
ユニティゲイン周波数 ${ \omega_u }$ における位相を ${ \angle A ( j \omega_u ) }$ とすると, 位相余裕(phase margin)は
\[\mathrm{PM} = 180^\circ + \angle A ( j \omega_u )\]で定義される。
一般的なアナログ回路設計では,
とされる。
位相余裕は「安全率」であり, 性能を攻めるほど小さくなりがちである。
単一極のみを持つ系では, 位相遅れは高周波で最大でも
\[-90^\circ\]である。
このため, ユニティゲイン点での位相余裕は十分に確保される。
極が 2 個以上存在すると,
の位相遅れが生じ得る。
ユニティゲイン周波数付近で 複数の極が効いていると, 位相余裕は急激に悪化する。
ミラー補償容量 ${ C_c }$ は, 支配極を作る一方で, 新たな零点を発生させる。
その零点の角周波数は近似的に
\[\omega_z \approx \frac{ g_{m2} }{ C_c }\]で与えられる。
ここで ${ g_{m2} }$ は第 2 段のトランスコンダクタンスである。
零点周波数では、増幅段が作る電流をそのまま補償容量でフィードバックして、次の段への電流が0になる。
この零点が右半平面零点(RHP zero)となる場合,
という,安定性にとって不利な特性を持つ。
その結果,
が起こりやすくなる。
実務では次のような対策を取る。
設計とは, 極と零点の配置を制御する作業 である。
まず目標とする GBW を仕様から決める。
\[GBW_{\mathrm{target}}\]プロセスや面積制約を考慮し, 実装可能な ${ C_c }$ を仮定する。
支配極を駆動する段の ${ g_{m1} }$ は,
\[g_{m1} \approx 2 \pi C_c \, GBW_{\mathrm{target}}\]から求める。
平方則モデルを仮定すると,
\[ g_{m1}=\sqrt{2 \mu C_{\mathrm{ox}} \frac{ W }{ L } I_D }\]より, 必要な ${ I_D }$ と ${ W / L }$ の組を決定する。
LTspice にて .ac 解析を行い,
を確認する。
設計値とずれる場合は,
を再調整する。
安定なオペアンプは, 偶然ではなく 意図して作られる。
これが実務における アナログ回路設計の核心である。
目標 GBW を次のように置く。
\[GBW_{\mathrm{target}} = 10 \times 10^6 \ \mathrm{Hz}\]ミラー補償容量は実装可能性とノイズ耐性のバランスで仮決めする。 ここでは
\[C_c = 2 \ \mathrm{pF}\]とする。
ミラー補償の単一極近似が成り立つ範囲では
\[GBW \approx \frac{ g_{m1} }{ 2 \pi C_c }\]より,必要な ${ g_{m1} }$ は
\[g_{m1} \approx 2 \pi C_c \, GBW_{\mathrm{target}}\]数値を代入すると
\[g_{m1} \approx 2 \pi \cdot 2 \times 10^{-12} \cdot 10 \times 10^{6} \ \mathrm{S}\]よって
\[g_{m1} \approx 1.26 \times 10^{-4} \ \mathrm{S}\]すなわち
\[g_{m1} \approx 0.126 \ \mathrm{mS}\]が目標となる。
平方則モデルの関係
\[g_m = \frac{ 2 I_D }{ V_{\mathrm{ov}} }\]を用いると,${ V_{\mathrm{ov}} }$ を仮定することで電流が決まる。
低消費電力寄りに
\[V_{\mathrm{ov}} = 0.2 \ \mathrm{V}\]と置くと,
\[I_D = \frac{ g_m V_{\mathrm{ov}} }{ 2 }\]なので
\[I_D \approx \frac{ 1.26 \times 10^{-4} \cdot 0.2 }{ 2 } \ \mathrm{A}\]よって
\[I_D \approx 1.26 \times 10^{-5} \ \mathrm{A}\]すなわち
\[I_D \approx 12.6 \ \mathrm{\mu A}\]となる。
この時点で設計メモとしては, 「第 1 段の ${ g_{m1} }$ を約 ${ 0.126 \ \mathrm{mS} }$ にするには,第 1 段の枝電流は約 ${ 12.6 \ \mathrm{\mu A} }$」 と言える。
.op で第 1 段入力トランジスタの ${ g_m }$ を確認し,目標に合わせる.ac で開ループ利得を測定し,ユニティゲイン点が ${ 10 \ \mathrm{MHz} }$ 近辺か確認.tran でステップ応答を見てリンギングを確認補償容量 ${ C_c }$ が支配的なとき, 大信号では第 1 段が供給できる電流 ${ I_{\mathrm{chg}} }$ により 補償容量の充放電速度が制限される。
容量電流の関係
\[I = C \frac{ dV }{ dt }\]より,スルーレートは
\[SR \approx \frac{ I_{\mathrm{chg}} }{ C_c }\]となる。
第 1 段が補償容量へ供給できる電流が, おおむね枝電流と同程度だとすると
\[I_{\mathrm{chg}} \approx 12.6 \ \mathrm{\mu A}\]なので
\[SR \approx \frac{ 12.6 \times 10^{-6} }{ 2 \times 10^{-12} } \ \mathrm{V/s}\]よって
\[SR \approx 6.3 \times 10^{6} \ \mathrm{V/s}\]すなわち
\[SR \approx 6.3 \ \mathrm{V/\mu s}\]となる。
実務的には, GBW を上げるために ${ g_m }$ を上げる設計は, 多くの場合 ${ I_{\mathrm{chg}} }$ も増えるため SR も改善しやすいが, ${ C_c }$ を増やして安定化した場合は SR が低下しやすい, というトレードオフがある。
出力段は主に
を決める。
大きな ${ C_L }$ を高速に駆動するには, 出力段の供給電流 ${ I_{\mathrm{out}} }$ が支配的になり, 出力の立ち上がりは近似的に
\[\frac{ dV_{\mathrm{out}} }{ dt } \approx \frac{ I_{\mathrm{out}} }{ C_L }\]で制限される。
つまり,
の 2 種類を区別して評価するのが実務的に重要である。
第 2 段をトランスコンダクタ ${ g_{m2} }$ とみなし, 補償容量 ${ C_c }$ に流れ込む電流を考える。
補償容量に流れる電流は
\[i_c = C_c \frac{ d v }{ dt }\]である。
一方,第 2 段が生み出す電流は
\[i_2 = g_{m2} v\]と表せる(ここで ${ v }$ は第 2 段の入力側の小信号電圧とする)。
周波数領域では
\[i_c = j \omega C_c v\]となるので,両者の大きさが等しくなる境界条件
\[| j \omega C_c v | = | g_{m2} v |\]より ${ v }$ が消えて
\[\omega = \frac{ g_{m2} }{ C_c }\]を得る。
したがって零点の角周波数は
\[\omega_z \approx \frac{ g_{m2} }{ C_c }\]となる。
この式は,
移動することを示す。
零点がユニティゲイン周波数付近に来ると, ボード線図の傾きや位相に影響し, 位相余裕の劣化やピーキングの原因となる。
平方則モデルは長チャネル近似であり, 実プロセスでは
により ${ g_m }$ のスケーリングが崩れる。
その結果, 計算で求めた ${ I_D }$ と ${ g_m }$ の関係がずれる。
設計で仮定した ${ C_c }$ 以外にも,
が加算される。
このため実効容量 ${ C_{\mathrm{eff}} }$ は
\[C_{\mathrm{eff}} = C_c + C_{\mathrm{par}}\]となり,GBW や零点位置が低下しやすい。
第 1 段,第 2 段,出力段の各ノードに極があり, 支配極以外の極が予想より低周波に来ると, 位相余裕が悪化する。
実務では 「第 2 極がユニティゲイン周波数の 3 倍以上」 を目標にすることが多い。
により, ${ g_m }$ ,GBW,SR,位相余裕が変動する。
そのため実務では, PVT( Process,Voltage,Temperature )での角ケース検証を行う。